用隐零点估算

用隐零点估算

已知与问题

已知函数 ，其中 ， 为整数。该题为2023年甘肃模拟题。
(Ⅰ) 若 ，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(Ⅱ) 若存在整数 使得 恒成立，求整数 的最大值。
（参考数据：， ， ， ， ， ）

解题过程

（Ⅰ）求切线方程 (当 )

1. 求函数在 处的值：
   
   故切点为 。

2. 求导函数并计算斜率：
   
   代入 ：
   
   因此切线斜率为 。

3. 写出切线方程：
   由点斜式 ，得：
   

（Ⅱ）求整数 的最大值

1. 问题转化：
   条件 恒成立，即 ，亦即：
   
   对所有 成立。
   令 ，则问题转化为求 的最小值（下确界），并寻找小于该最小值的最大整数 。

2. 求 的极值点（最小值点）：

   • 求导：（同 ）。
   • 令 ，得分子为零：。
   • 设该方程的唯一正根为 ，则 是 的极小值点，也是最小值点。
   • 关键隐零点关系：由 可得：
     

3. 估算 的大致范围：

   • 代入试探：
     • 取 ：。
     • 取 ：。
       所以 。
   • 进一步精确：
     • 取 ：。
     • 取 ：。
       所以 。可估计 。

4. 计算最小值 的近似值：

   • 利用隐零点关系化简：
     
   • 代入估算：
     • 取 ：。
     • 取 ：。
   • 因此， 的最小值 大约在 到 之间。

5. 确定整数 的最大值：

   • 要使 对所有 恒成立，必须满足 。
   • 因为 是整数，所以满足条件的最大整数是 。
   • 验证：当 时， 恒成立。若 ，则当 时，，不满足恒大于零的条件。

关键点总结

1. 切线问题：直接求导代值即可。
2. 恒成立问题：转化为求新函数 的最小值。
3. 隐零点技巧：对于导数零点 无法显式求出的情况，通过方程 得到关系式 ，用于简化最小值 的表达式。
4. 数值估算：通过代入具体数值，结合题目所给参考数据，确定隐零点 和最小值 的大致范围，是解决此类问题的核心步骤。